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東北大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第010回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（17点）

\[ a_1=1,\ a_2=5,\ a_{n+2}=5a_{n+1}-4a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）

第2問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{4+\frac jn} \]

、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{4n+j}\) とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第3問　円の弦と三角形の面積の最大化（17点）

円 \\(x^2+y^2=16\\) の内部の点 \(Q(2,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）

第4問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を4回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第5問　1の累乗根と積・距離の和（16点）

方程式 \(z^4=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{3}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）

（2）\(\sum_{j=0}^{3}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）

（3）\(\prod_{j=1}^{3}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）

第6問　対数方程式の存在条件（16点）

\(\log_2 x+\log_2(4-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（4点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（4点）

（3）\(a=\log_2 3\) のとき、すべての解を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=4(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(4\) なので \(a_{n+1}-a_n=4^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{4^n-1}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(4-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{4(4^n-1)-3n}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=4a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-4a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{4+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{4+j/n} \]

は \(g(x)=1/(4+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{4+x}\,dx=[\frac23(4+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(5\sqrt{5}-8)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{4+x}\,dx=[\log(4+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{5}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=2\) を円の式に代入する。\\(y^2=12\\)。

\[ \boxed{(2,\pm 2\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

直線は \(mx-y-2m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{16m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{16-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=4\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le4/2\)。面積の2乗は \(d^2(16-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(16-s)\) は \(0\le s\le16/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=4\sqrt{3},\quad x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(4\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{3}{8}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{15}{16}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{2}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(4\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{3}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{4}+i\sin\frac{2\pi j}{4},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ z^4-1=(z-1)\prod_{j=1}^{3}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{3}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{4} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<4\)。\(x(4-x)=16/4-(x-4/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,16/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<4,\quad a\le\log_2 4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 4:2\text{個};\quad a=\log_2 4:1\text{個};\quad a>\log_2 4:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(x(4-x)=3\) を解く。2つの解の和は \(4\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=1,\ 3} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。