東北大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第009回
この回のテストポイント
- 第1問：逆数で線形化し差を足す
- 第2問：対数の評価と部分積分
- 第3問：等周条件と三角形の面積
- 第4問：抽出方法と条件付き確率
- 第5問：双曲線の接線と不変な面積
- 第6問：定義域のある二次関数とパラメータ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 逆数で線形化し差を足す（17点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）
第2問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le4\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第3問 等周条件と三角形の面積（17点）
周の長さが \(24\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）
第4問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(4\) 個、青玉 \(8\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第5問 双曲線の接線と不変な面積（16点）
第1象限の双曲線 \\(xy=16\\) 上の点 \(P(t,16/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）
第6問 定義域のある二次関数とパラメータ（16点）
\(0\le x\le 8\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+16\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（4点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（4点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<4\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=24-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=12(12-a)^2(2a-12)\)。微分すると \((S^2)'=72(12-a)(8-a)\)。存在範囲で \(a=8\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半周長は \(12\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=12r\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((4-1)/(12-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{8(8-1)}{12(12-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(4-1)<20-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=16/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-16/t=-16(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(2t\) と \(32/t\)。その積が \(64\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+32/t\ge16\)。等号は \(t=4\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+16-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-4\le t\le 4\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
判別式より \(t>4\) または \(t<-4\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>4\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(8)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(80-16t\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。