大学受験数学 全国模試 第099回
この回のテストポイント
- 第1問：条件の式化と面積の最適化（二次関数の活用）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数の活用（20点）
長方形の周の長さは \(44\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<22\) とする。
- 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
- 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=44x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(11,22)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(14\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(11,1331)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=15\)、\(a_7=23\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 条件の式化と面積の最適化
もう一辺は \(22-x\) cm。したがって \(S=x(22-x)=-(x-11)^2+121\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。
- 答え
\[ \boxed{S=x(22-x)} \] - 答え
\[ \boxed{121\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 11\ \mathrm{cm}} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(11\)。焦点は \((11,0)\)、準線は \(x=-11\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(22\)、準線までは横方向の距離 \(11-(-11)=22\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(11,0),\ \text{準線}\ x=-11} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 22} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(13\) 個の並べ方は \(13!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(14!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot13!} \] - 答え
\[ \boxed{14!-2\cdot13!} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(363\)。点と傾きから \(y-1331=363(x-11)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{363} \] - 答え
\[ \boxed{y=363x-2662} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((23-15)/4=2\)。初項は \(a_3-4=11\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=11+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{200} \]