大学受験数学 全国模試 第100回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(1100\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(22\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(11\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(13\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-33x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
初項 \(11\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。
- 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
- \(S_n=341\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(1100+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>1100\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>11} \] - 答え
\[ \boxed{12\ \text{時間},\ 3500\ \text{円}} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(11\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=363-242=121\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{11} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{5324}{3}} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{13}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{16}{3}=560\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{234} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{117}{280}} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-22)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>22\) で正、\(0<x<22\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=22\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>22;\ \text{減少}:0<x<22} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-5324} \]
第5問 等比数列の和から項数を逆算
等比数列の和より \(S_n=11(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。
- 答え
\[ \boxed{S_n=11(2^n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{n=5} \]