大学受験数学 全国模試 第098回
この回のテストポイント
- 第1問：交点と上下関係（二次関数）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：片側検定の棄却域と結論（統計的な推測）
- 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
- 第5問：絶対値の軌跡と円の位置（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=22x+23\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{3025}+\frac{y^2}{1089}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=33\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
製品の平均重量が \(111\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(109\) gだった。帰無仮説は \(\mu=111\)、対立仮説は \(\mu<111\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。
- 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
- 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(f(\theta)=11\sin\theta+11\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。
- \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
- 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数 \(z\) は \(|z-(11+2i)|=3\) を満たす。
- この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
- この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 交点と上下関係
交点の条件を整理すると \(x^2-22x-23=(x+1)(x-23)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。
- 答え
\[ \boxed{x=-1,\ 23} \] - 答え
\[ \boxed{-1<x<23} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=55\)、短半径は \(b=33\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=44\\)。直線を代入すると \\(y^2/1089=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(44,0),\ (-44,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(33,\frac{132}{5}),\ (33,-\frac{132}{5})} \]
第3問 片側検定の棄却域と結論
帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(109-111)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。
- 答え
\[ \boxed{-2} \] - 答え
\[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]
第4問 三角関数の合成と最大値
加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=11\)、\(R\sin\alpha=11\)。よって \(R=11\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。
- 答え
\[ \boxed{11\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \] - 答え
\[ \boxed{\text{最大値}=11\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]
第5問 絶対値の軌跡と円の位置
絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(11+2i\)、半径は3。\(z=11+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}=11+2i,\ \text{半径}=3} \] - 答え
\[ \boxed{z=11+5i,\ 11-i} \]