大学受験数学 全国模試 第097回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：倍角公式と区間内の解（三角関数）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-11)(x-15)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq17\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-11,0)\)、\(B=(11,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{130}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(61\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(\theta\) の範囲を \(22\pi\leq\theta<24\pi\) とする。
- この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
- 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=11+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,10\) の \(11\) 個と、\(16,17\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<11\ \text{または}\ x>15} \] - 答え
\[ \boxed{13} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+11)^2+y^2=(x-11)^2+y^2\) から \(44x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1476}{25}\leq\mu\leq\frac{1574}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 倍角公式と区間内の解
\(\phi=\theta-22\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。
- 答え
\[ \boxed{\theta=\frac{89\pi}{4},\frac{91\pi}{4},\frac{93\pi}{4},\frac{95\pi}{4}} \] - 答え
\[ \boxed{\theta=\frac{89\pi}{4},\frac{91\pi}{4}} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(11+i)=-1+11i\)。\(w-z=(-12)+10i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+11i} \] - 答え
\[ \boxed{244} \]