大学受験数学 全国模試 第096回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係による対称式（二次方程式）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：標本平均の分布と標準化（統計的な推測）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
\\(x^2-14x+22=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。
- 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
- \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(33,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母平均 \(11\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。
- \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
- \(P(10\leq\overline X\leq12)\) を求めなさい。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-11)+\log_2(x-12)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(11,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係による対称式
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=14\)、\(\alpha\beta=22\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。
- 答え
\[ \boxed{152} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{7}{11}} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(11,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+33y-132=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(11,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{88}{1105}\sqrt{1105}} \]
第3問 標本平均の分布と標準化
標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-11)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。
- 答え
\[ \boxed{E(\overline X)=11,\ \text{標準偏差}=1} \] - 答え
\[ \boxed{0.6826} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>12\)。対数の和を積にまとめると \((x-11)(x-12)=2\)。\(u=x-11\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>12} \] - 答え
\[ \boxed{x=13} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(11-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=121-121/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=\frac{11}{9}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{22\sqrt2}{3}} \]