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大学受験数学 全国模試 第095回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　二次方程式（20点）

実数 \(t\) に対して \\(x^2-22x+t=0\\) を考える。

  1. 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
  2. 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）

第2問　図形と方程式（20点）

円 \((x-11)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(14,6)\) を考える。

  1. 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
  2. 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）

第3問　データの分析（20点）

小さい順に並べた8個のデータは 9、10、11、12、13、14、15、16 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。

  1. 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
  2. この基準で、新しい観測値 \(21\) は外れ値か判定しなさい。（10点）

第4問　指数関数（20点）

\(4^x-(2048+2)2^x+4096=0\) を考える。

  1. \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
  2. \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）

第5問　ベクトル（20点）

三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:11\) に内分する点を \(P\) とする。

  1. \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
  2. 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　判別式による実数解の分類

判別式は \(D=(-22)^2-4t=4(121-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=11\) に一致する。

  1. 答え
    \[ \boxed{t<121} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{t=121,\ x=11} \]

第2問　円の方程式と接線

標準形から中心は \((11,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-14)+4(y-6)=0\) を整理する。

  1. 答え
    \[ \boxed{\text{中心}(11,2),\ \text{半径}5} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{3x+4y=66} \]

第3問　四分位数と外れ値の判定

下半分の中央2値の平均は \((10+11)/2\)、上半分は \((14+15)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{29}{2}+6=\frac{41}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。

  1. 答え
    \[ \boxed{Q_1=\frac{21}{2},\ Q_3=\frac{29}{2},\ IQR=4} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{外れ値である}} \]

第4問　置換による指数方程式

\(t>0\) に注意し、\(t^2-(2048+2)t+4096=(t-2)(t-2048)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^11\) に戻す。

  1. 答え
    \[ \boxed{t=2,\ 2048} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{x=1,\ 11} \]

第5問　内分ベクトルと面積比

内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(11\vec a+\vec b)/12\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/12\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{\frac{11\vec a+\vec b}{12}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{1}{12}} \]