大学受験数学 全国模試 第094回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域付き最大・最小（二次関数）
- 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
- 第3問：一次変換による平均と分散の変化（データの分析）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
\(f(x)=(x-11)^2-4\)、\(10\leq x\leq13\) とする。
- 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
- 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=11\)、\(PB=44\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。
- 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
- 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
あるデータ \(x\) の平均は \(11\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。
- \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
- \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-22x+125=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
\(\vec a=(11,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。
- \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
- その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 定義域付き最大・最小
軸 \(x=11\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(10)=-3\)、右端では \(f(13)=0\) となる。
- 答え
\[ \boxed{x=11,\ \text{最小値}=-4} \] - 答え
\[ \boxed{x=13,\ \text{最大値}=0} \]
第2問 円の接線と方べき
方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=484\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=484\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。
- 答え
\[ \boxed{22} \] - 答え
\[ \boxed{242} \]
第3問 一次変換による平均と分散の変化
平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。
- 答え
\[ \boxed{35} \] - 答え
\[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-11)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(11\pm2i\)。和は \(22\)、積は \(125\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=11\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=125,\ \alpha^2+\beta^2=234} \]
第5問 内積と垂直条件
垂直条件は内積0なので \(11+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(12,-10)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。
- 答え
\[ \boxed{t=-11} \] - 答え
\[ \boxed{244} \]