大学受験数学 全国模試 第093回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：角の二等分線と辺の比（図形の性質）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：剰余の定理と係数決定（式と証明）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=22\)、\(AC=33\)、\(BC=44\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。
- \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
- 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(13\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 式と証明（20点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(11\)、\(x+1\) で割った余りは \(13\) である。
- 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
- \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((12)-11=1\)。よって \(a=\sqrt{12}+\sqrt{11}\)、\(b=\sqrt{12}-\sqrt{11}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{2\sqrt{3}+\sqrt{11}} \] - 答え
\[ \boxed{46} \]
第2問 角の二等分線と辺の比
角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。
- 答え
\[ \boxed{BD=\frac{88}{5},\ DC=\frac{132}{5}} \] - 答え
\[ \boxed{2:3} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(13\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{13}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{13}{8192}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=\frac{13}{2},\ V(X)=\frac{13}{4}} \]
第4問 剰余の定理と係数決定
剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=11\)、\(P(-1)=-1-a+b=13\)。連立すると \(a=-2,b=12\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。
- 答え
\[ \boxed{a=-2,\ b=12} \] - 答え
\[ \boxed{16} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/11=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/11=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/11=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=11\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{539} \]