大学受験数学 全国模試 第092回
この回のテストポイント
- 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：2曲線間の面積と上下関係（積分）
- 第5問：漸化式の固定点と等比数列への変換（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 集合と命題（20点）
全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,17\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq14\}\)、\(B=\{x\in U\mid 11\leq x\leq12\}\) とする。
- 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
- 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=11\)、\(BC=11\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(66\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=11x\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=12\)、\(a_{n+1}=2a_n-11\) とする。
- \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
- \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 集合の包含関係と必要十分条件
\(B\subset A\) で、\(B\) の要素は2個。\(A\cap\overline B\) は \(A\) からこの2個を除いた集合である。\(x\in B\Rightarrow x\in A\) は成り立つが、例えば \(x=1\) では逆が成り立たない。
- 答え
\[ \boxed{12} \] - 答え
\[ \boxed{\text{必要条件}} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(363=121+121-242\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{121}{4}\sqrt{3}} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(33\) 個、3の倍数は \(22\) 個、両方に属する6の倍数は \(11\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 2曲線間の面積と上下関係
\\(x^2=11x\\) より交点は \(x=0,11\)。その間では直線が上にあるので、面積は
。
- 答え
\[ \boxed{x=0,\ 11} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1331}{6}} \]
第5問 漸化式の固定点と等比数列への変換
定数解 \(a_n=11\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=11+2^{n-1}\)。
- 答え
\[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \] - 答え
\[ \boxed{27} \]