大学受験数学 全国模試 第091回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：積分定数と初期条件（積分）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-11|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>12\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=11\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 22 | 22 |
| 疾患なし | 11 | 55 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-22x\)、\(F(0)=11\) を満たす。
- \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
- \(\int_0^11\(3x^2-22x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=11\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-11\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>12\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{8\leq x\leq14} \] - 答え
\[ \boxed{x=13,\ 14} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=11\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{11} \] - 答え
\[ \boxed{11\sqrt{2}} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(33\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(44\) 人。どちらも該当するのは \(22\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 積分定数と初期条件
不定積分は \(F(x)=x^3-11x^2+C\)。初期条件より \(C=11\)。定積分は原始関数の両端の差であり、\(F(11)-F(0)\) を計算する。積分定数は差で消える。
- 答え
\[ \boxed{F(x)=x^3-11x^2+11} \] - 答え
\[ \boxed{0} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=11+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(11-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+10} \] - 答え
\[ \boxed{105} \]