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大学受験数学 全国模試 第090回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　数と式（20点）

施設Aの料金は基本料 \(1000\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。

  1. AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
  2. AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）

第2問　平面上の曲線（20点）

放物線 \\(y^2=40x\\) を考える。

  1. 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
  2. 放物線上の点 \(P=(10,20)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）

第3問　統計的な推測（20点）

製品の平均重量が \(110\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(108\) gだった。帰無仮説は \(\mu=110\)、対立仮説は \(\mu<110\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。

  1. 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
  2. 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）

第4問　三角関数（20点）

\(\theta\) の範囲を \(20\pi\leq\theta<22\pi\) とする。

  1. この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
  2. 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）

第5問　空間ベクトル（20点）

空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(10,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。

  1. \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
  2. 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　一次不等式のモデル化と整数条件

料金はAが \(1000+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>1000\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。

  1. 答え
    \[ \boxed{n>10} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{11\ \text{時間},\ 3200\ \text{円}} \]

第2問　放物線の定義と焦点・準線

標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(10\)。焦点は \((10,0)\)、準線は \(x=-10\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(20\)、準線までは横方向の距離 \(10-(-10)=20\) で一致する。

  1. 答え
    \[ \boxed{\text{焦点}(10,0),\ \text{準線}\ x=-10} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{どちらも}\ 20} \]

第3問　片側検定の棄却域と結論

帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(108-110)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。

  1. 答え
    \[ \boxed{-2} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]

第4問　倍角公式と区間内の解

\(\phi=\theta-20\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。

  1. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{81\pi}{4},\frac{83\pi}{4},\frac{85\pi}{4},\frac{87\pi}{4}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{81\pi}{4},\frac{83\pi}{4}} \]

第5問　空間の内積と直線上の垂足

\[ (\overrightarrow{OP}-t\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{OA}=0 \]

より \(10-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=100-100/9\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{t=\frac{10}{9}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{20\sqrt2}{3}} \]