大学受験数学 全国模試 第089回
この回のテストポイント
- 第1問：条件の式化と面積の最適化（二次関数の活用）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数の活用（20点）
長方形の周の長さは \(40\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<20\) とする。
- 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
- 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{2500}+\frac{y^2}{900}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=30\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(60\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-10)+\log_2(x-11)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:10\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
- 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 条件の式化と面積の最適化
もう一辺は \(20-x\) cm。したがって \(S=x(20-x)=-(x-10)^2+100\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。
- 答え
\[ \boxed{S=x(20-x)} \] - 答え
\[ \boxed{100\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 10\ \mathrm{cm}} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=50\)、短半径は \(b=30\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=40\\)。直線を代入すると \\(y^2/900=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(40,0),\ (-40,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(30,24),\ (30,-24)} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1451}{25}\leq\mu\leq\frac{1549}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>11\)。対数の和を積にまとめると \((x-10)(x-11)=2\)。\(u=x-10\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>11} \] - 答え
\[ \boxed{x=12} \]
第5問 内分ベクトルと面積比
内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(10\vec a+\vec b)/11\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/11\)。
- 答え
\[ \boxed{\frac{10\vec a+\vec b}{11}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{11}} \]