大学受験数学 全国模試 第088回
この回のテストポイント
- 第1問：交点と上下関係（二次関数）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：標本平均の分布と標準化（統計的な推測）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=20x+21\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-10,0)\)、\(B=(10,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{109}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母平均 \(10\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。
- \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
- \(P(9\leq\overline X\leq11)\) を求めなさい。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(1024+2)2^x+2048=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
\(\vec a=(10,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。
- \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
- その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 交点と上下関係
交点の条件を整理すると \(x^2-20x-21=(x+1)(x-21)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。
- 答え
\[ \boxed{x=-1,\ 21} \] - 答え
\[ \boxed{-1<x<21} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+10)^2+y^2=(x-10)^2+y^2\) から \(40x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 標本平均の分布と標準化
標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-10)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。
- 答え
\[ \boxed{E(\overline X)=10,\ \text{標準偏差}=1} \] - 答え
\[ \boxed{0.6826} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(1024+2)t+2048=(t-2)(t-1024)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^10\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 1024} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 10} \]
第5問 内積と垂直条件
垂直条件は内積0なので \(10+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(11,-9)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。
- 答え
\[ \boxed{t=-10} \] - 答え
\[ \boxed{202} \]