大学受験数学 全国模試 第087回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：四分位数と外れ値の判定（データの分析）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-10)(x-14)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq16\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(30,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
小さい順に並べた8個のデータは 8、9、10、11、12、13、14、15 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。
- 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
- この基準で、新しい観測値 \(20\) は外れ値か判定しなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-20x+104=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,9\) の \(10\) 個と、\(15,16\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<10\ \text{または}\ x>14} \] - 答え
\[ \boxed{12} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(10,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+30y-120=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(10,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{40}{229}\sqrt{229}} \]
第3問 四分位数と外れ値の判定
下半分の中央2値の平均は \((9+10)/2\)、上半分は \((13+14)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{27}{2}+6=\frac{39}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。
- 答え
\[ \boxed{Q_1=\frac{19}{2},\ Q_3=\frac{27}{2},\ IQR=4} \] - 答え
\[ \boxed{\text{外れ値である}} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-10)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(10\pm2i\)。和は \(20\)、積は \(104\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=10\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=104,\ \alpha^2+\beta^2=192} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/10=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/10=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/10=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=10\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{490} \]