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大学受験数学 全国模試 第086回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　二次方程式（20点）

\\(x^2-13x+20=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。

  1. 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
  2. \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）

第2問　図形と方程式（20点）

円 \((x-10)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(13,6)\) を考える。

  1. 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
  2. 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）

第3問　データの分析（20点）

あるデータ \(x\) の平均は \(10\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。

  1. \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
  2. \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）

第4問　式と証明（20点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(10\)、\(x+1\) で割った余りは \(12\) である。

  1. 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
  2. \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）

第5問　数列（20点）

\(a_1=11\)、\(a_{n+1}=2a_n-10\) とする。

  1. \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
  2. \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　解と係数の関係による対称式

解と係数の関係より \(\alpha+\beta=13\)、\(\alpha\beta=20\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。

  1. 答え
    \[ \boxed{129} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{13}{20}} \]

第2問　円の方程式と接線

標準形から中心は \((10,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-13)+4(y-6)=0\) を整理する。

  1. 答え
    \[ \boxed{\text{中心}(10,2),\ \text{半径}5} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{3x+4y=63} \]

第3問　一次変換による平均と分散の変化

平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。

  1. 答え
    \[ \boxed{32} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]

第4問　剰余の定理と係数決定

剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=10\)、\(P(-1)=-1-a+b=12\)。連立すると \(a=-2,b=11\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。

  1. 答え
    \[ \boxed{a=-2,\ b=11} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{15} \]

第5問　漸化式の固定点と等比数列への変換

定数解 \(a_n=10\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=10+2^{n-1}\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{26} \]