大学受験数学 全国模試 第085回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：2曲線間の面積と上下関係（積分）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-20x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=10\)、\(PB=40\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。
- 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
- 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(12\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=10x\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=10\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-20)^2-4t=4(100-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=10\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<100} \] - 答え
\[ \boxed{t=100,\ x=10} \]
第2問 円の接線と方べき
方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=400\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=400\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。
- 答え
\[ \boxed{20} \] - 答え
\[ \boxed{200} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(12\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{12}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{3}{1024}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=6,\ V(X)=3} \]
第4問 2曲線間の面積と上下関係
\\(x^2=10x\\) より交点は \(x=0,10\)。その間では直線が上にあるので、面積は \(\int_0^10\(10x-x^2\)\,dx=[5x^2-x^3/3]_0^10\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0,\ 10} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{500}{3}} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=10+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(10-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+9} \] - 答え
\[ \boxed{100} \]