大学受験数学 全国模試 第084回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域付き最大・最小（二次関数）
- 第2問：角の二等分線と辺の比（図形の性質）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：積分定数と初期条件（積分）
- 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
\(f(x)=(x-10)^2-4\)、\(9\leq x\leq12\) とする。
- 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
- 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=20\)、\(AC=30\)、\(BC=40\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。
- \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
- 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(60\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-20x\)、\(F(0)=10\) を満たす。
- \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
- \(\int_0^10\(3x^2-20x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
初項 \(10\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。
- 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
- \(S_n=310\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 定義域付き最大・最小
軸 \(x=10\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(9)=-3\)、右端では \(f(12)=0\) となる。
- 答え
\[ \boxed{x=10,\ \text{最小値}=-4} \] - 答え
\[ \boxed{x=12,\ \text{最大値}=0} \]
第2問 角の二等分線と辺の比
角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。
- 答え
\[ \boxed{BD=16,\ DC=24} \] - 答え
\[ \boxed{2:3} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(30\) 個、3の倍数は \(20\) 個、両方に属する6の倍数は \(10\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 積分定数と初期条件
不定積分は \(F(x)=x^3-10x^2+C\)。初期条件より \(C=10\)。定積分は原始関数の両端の差であり、\(F(10)-F(0)\) を計算する。積分定数は差で消える。
- 答え
\[ \boxed{F(x)=x^3-10x^2+10} \] - 答え
\[ \boxed{0} \]
第5問 等比数列の和から項数を逆算
等比数列の和より \(S_n=10(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。
- 答え
\[ \boxed{S_n=10(2^n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{n=5} \]