大学受験数学 全国模試 第083回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=10\)、\(BC=10\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 20 | 20 |
| 疾患なし | 10 | 50 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-30x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=14\)、\(a_7=22\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((11)-10=1\)。よって \(a=\sqrt{11}+\sqrt{10}\)、\(b=\sqrt{11}-\sqrt{10}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{\sqrt{11}+\sqrt{10}} \] - 答え
\[ \boxed{42} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(300=100+100-200\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{25\sqrt{3}} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(30\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(40\) 人。どちらも該当するのは \(20\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-20)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>20\) で正、\(0<x<20\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=20\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>20;\ \text{減少}:0<x<20} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-4000} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((22-14)/4=2\)。初項は \(a_3-4=10\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=10+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{190} \]