大学受験数学 全国模試 第082回
この回のテストポイント
- 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：絶対値の軌跡と円の位置（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 集合と命題（20点）
全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,16\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq13\}\)、\(B=\{x\in U\mid 10\leq x\leq11\}\) とする。
- 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
- 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=10\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(12\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(10,1000)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数 \(z\) は \(|z-(10+2i)|=3\) を満たす。
- この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
- この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 集合の包含関係と必要十分条件
\(B\subset A\) で、\(B\) の要素は2個。\(A\cap\overline B\) は \(A\) からこの2個を除いた集合である。\(x\in B\Rightarrow x\in A\) は成り立つが、例えば \(x=1\) では逆が成り立たない。
- 答え
\[ \boxed{11} \] - 答え
\[ \boxed{\text{必要条件}} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=10\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{10} \] - 答え
\[ \boxed{10\sqrt{2}} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{12}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{15}{3}=455\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{198} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{198}{455}} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(300\)。点と傾きから \(y-1000=300(x-10)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{300} \] - 答え
\[ \boxed{y=300x-2000} \]
第5問 絶対値の軌跡と円の位置
絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(10+2i\)、半径は3。\(z=10+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}=10+2i,\ \text{半径}=3} \] - 答え
\[ \boxed{z=10+5i,\ 10-i} \]