大学受験数学 全国模試 第081回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-10|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>11\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(20\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(10\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(13\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(f(\theta)=10\sin\theta+10\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。
- \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
- 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=10+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-10\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>11\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{7\leq x\leq13} \] - 答え
\[ \boxed{x=12,\ 13} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(10\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=300-200=100\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{10} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{4000}{3}} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(12\) 個の並べ方は \(12!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(13!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot12!} \] - 答え
\[ \boxed{13!-2\cdot12!} \]
第4問 三角関数の合成と最大値
加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=10\)、\(R\sin\alpha=10\)。よって \(R=10\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。
- 答え
\[ \boxed{10\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \] - 答え
\[ \boxed{\text{最大値}=10\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(10+i)=-1+10i\)。\(w-z=(-11)+9i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+10i} \] - 答え
\[ \boxed{202} \]