大学受験数学 全国模試 第080回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：標本平均の分布と標準化（統計的な推測）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：漸化式の固定点と等比数列への変換（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(900\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{729}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=27\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母平均 \(9\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。
- \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
- \(P(8\leq\overline X\leq10)\) を求めなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-18x+85=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=10\)、\(a_{n+1}=2a_n-9\) とする。
- \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
- \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(900+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>900\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>9} \] - 答え
\[ \boxed{10\ \text{時間},\ 2900\ \text{円}} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=45\)、短半径は \(b=27\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=36\\)。直線を代入すると \\(y^2/729=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(36,0),\ (-36,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(27,\frac{108}{5}),\ (27,-\frac{108}{5})} \]
第3問 標本平均の分布と標準化
標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-9)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。
- 答え
\[ \boxed{E(\overline X)=9,\ \text{標準偏差}=1} \] - 答え
\[ \boxed{0.6826} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-9)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(9\pm2i\)。和は \(18\)、積は \(85\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=9\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=85,\ \alpha^2+\beta^2=154} \]
第5問 漸化式の固定点と等比数列への変換
定数解 \(a_n=9\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=9+2^{n-1}\)。
- 答え
\[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \] - 答え
\[ \boxed{25} \]