大学受験数学 全国模試 第079回
この回のテストポイント
- 第1問：条件の式化と面積の最適化（二次関数の活用）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：四分位数と外れ値の判定（データの分析）
- 第4問：剰余の定理と係数決定（式と証明）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数の活用（20点）
長方形の周の長さは \(36\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<18\) とする。
- 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
- 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-9,0)\)、\(B=(9,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{90}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
小さい順に並べた8個のデータは 7、8、9、10、11、12、13、14 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。
- 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
- この基準で、新しい観測値 \(19\) は外れ値か判定しなさい。（10点）
第4問 式と証明（20点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(9\)、\(x+1\) で割った余りは \(11\) である。
- 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
- \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=9\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 条件の式化と面積の最適化
もう一辺は \(18-x\) cm。したがって \(S=x(18-x)=-(x-9)^2+81\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。
- 答え
\[ \boxed{S=x(18-x)} \] - 答え
\[ \boxed{81\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 9\ \mathrm{cm}} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+9)^2+y^2=(x-9)^2+y^2\) から \(36x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 四分位数と外れ値の判定
下半分の中央2値の平均は \((8+9)/2\)、上半分は \((12+13)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{25}{2}+6=\frac{37}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。
- 答え
\[ \boxed{Q_1=\frac{17}{2},\ Q_3=\frac{25}{2},\ IQR=4} \] - 答え
\[ \boxed{\text{外れ値である}} \]
第4問 剰余の定理と係数決定
剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=9\)、\(P(-1)=-1-a+b=11\)。連立すると \(a=-2,b=10\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。
- 答え
\[ \boxed{a=-2,\ b=10} \] - 答え
\[ \boxed{14} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=9+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(9-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+8} \] - 答え
\[ \boxed{95} \]