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大学受験数学 全国模試 第078回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　二次関数（20点）

放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=18x+19\) を考える。

  1. 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
  2. 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）

第2問　図形と方程式（20点）

\(A=(0,0)\)、\(B=(27,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。

  1. \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
  2. 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）

第3問　データの分析（20点）

あるデータ \(x\) の平均は \(9\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。

  1. \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
  2. \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）

第4問　積分（20点）

放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=9x\) を考える。

  1. 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
  2. 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）

第5問　数列（20点）

初項 \(9\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。

  1. 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
  2. \(S_n=279\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　交点と上下関係

交点の条件を整理すると \(x^2-18x-19=(x+1)(x-19)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。

  1. 答え
    \[ \boxed{x=-1,\ 19} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{-1<x<19} \]

第2問　内分点と点・直線の距離

内分公式より \(P=(9,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+27y-108=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。

  1. 答え
    \[ \boxed{(9,0)} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{72}{745}\sqrt{745}} \]

第3問　一次変換による平均と分散の変化

平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。

  1. 答え
    \[ \boxed{29} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]

第4問　2曲線間の面積と上下関係

\\(x^2=9x\\) より交点は \(x=0,9\)。その間では直線が上にあるので、面積は

\[ \int_0^9(9x-x^2)\,dx=[\frac{9}{2}x^2-x^3/3]_0^9 \]

。

  1. 答え
    \[ \boxed{x=0,\ 9} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{243}{2}} \]

第5問　等比数列の和から項数を逆算

等比数列の和より \(S_n=9(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。

  1. 答え
    \[ \boxed{S_n=9(2^n-1)} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{n=5} \]