大学受験数学 全国模試 第077回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：円の方程式と接線（図形と方程式）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：積分定数と初期条件（積分）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-9)(x-13)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq15\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
円 \((x-9)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(12,6)\) を考える。
- 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(11\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-18x\)、\(F(0)=9\) を満たす。
- \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
- \(\int_0^9\(3x^2-18x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=13\)、\(a_7=21\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,8\) の \(9\) 個と、\(14,15\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<9\ \text{または}\ x>13} \] - 答え
\[ \boxed{11} \]
第2問 円の方程式と接線
標準形から中心は \((9,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-12)+4(y-6)=0\) を整理する。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}(9,2),\ \text{半径}5} \] - 答え
\[ \boxed{3x+4y=60} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(11\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{11}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{11}{2048}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=\frac{11}{2},\ V(X)=\frac{11}{4}} \]
第4問 積分定数と初期条件
不定積分は \(F(x)=x^3-9x^2+C\)。初期条件より \(C=9\)。定積分は原始関数の両端の差であり、\(F(9)-F(0)\) を計算する。積分定数は差で消える。
- 答え
\[ \boxed{F(x)=x^3-9x^2+9} \] - 答え
\[ \boxed{0} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((21-13)/4=2\)。初項は \(a_3-4=9\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=9+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{180} \]