大学受験数学 全国模試 第076回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係による対称式（二次方程式）
- 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：絶対値の軌跡と円の位置（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
\\(x^2-12x+18=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。
- 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
- \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=9\)、\(PB=36\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。
- 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
- 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(54\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-27x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数 \(z\) は \(|z-(9+2i)|=3\) を満たす。
- この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
- この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係による対称式
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=12\)、\(\alpha\beta=18\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。
- 答え
\[ \boxed{108} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \]
第2問 円の接線と方べき
方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=324\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=324\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。
- 答え
\[ \boxed{18} \] - 答え
\[ \boxed{162} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(27\) 個、3の倍数は \(18\) 個、両方に属する6の倍数は \(9\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-18)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>18\) で正、\(0<x<18\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=18\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>18;\ \text{減少}:0<x<18} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-2916} \]
第5問 絶対値の軌跡と円の位置
絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(9+2i\)、半径は3。\(z=9+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}=9+2i,\ \text{半径}=3} \] - 答え
\[ \boxed{z=9+5i,\ 9-i} \]