大学受験数学 全国模試 第075回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：角の二等分線と辺の比（図形の性質）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-18x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=18\)、\(AC=27\)、\(BC=36\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。
- \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
- 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 18 | 18 |
| 疾患なし | 9 | 45 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(9,729)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=9+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-18)^2-4t=4(81-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=9\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<81} \] - 答え
\[ \boxed{t=81,\ x=9} \]
第2問 角の二等分線と辺の比
角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。
- 答え
\[ \boxed{BD=\frac{72}{5},\ DC=\frac{108}{5}} \] - 答え
\[ \boxed{2:3} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(27\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(36\) 人。どちらも該当するのは \(18\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(243\)。点と傾きから \(y-729=243(x-9)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{243} \] - 答え
\[ \boxed{y=243x-1458} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(9+i)=-1+9i\)。\(w-z=(-10)+8i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+9i} \] - 答え
\[ \boxed{164} \]