大学受験数学 全国模試 第074回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域付き最大・最小（二次関数）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
\(f(x)=(x-9)^2-4\)、\(8\leq x\leq11\) とする。
- 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
- 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=9\)、\(BC=9\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(11\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(f(\theta)=9\sin\theta+9\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。
- \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
- 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(9,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 定義域付き最大・最小
軸 \(x=9\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(8)=-3\)、右端では \(f(11)=0\) となる。
- 答え
\[ \boxed{x=9,\ \text{最小値}=-4} \] - 答え
\[ \boxed{x=11,\ \text{最大値}=0} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(243=81+81-162\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{81}{4}\sqrt{3}} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{11}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{14}{3}=364\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{165} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{165}{364}} \]
第4問 三角関数の合成と最大値
加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=9\)、\(R\sin\alpha=9\)。よって \(R=9\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。
- 答え
\[ \boxed{9\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \] - 答え
\[ \boxed{\text{最大値}=9\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(9-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=81-81/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=1} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{18\sqrt2}{3}} \]