大学受験数学 全国模試 第073回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：倍角公式と区間内の解（三角関数）
- 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{9}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=9\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(12\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(\theta\) の範囲を \(18\pi\leq\theta<20\pi\) とする。
- この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
- 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:9\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
- 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((10)-9=1\)。よって \(a=\sqrt{10}+\sqrt{9}\)、\(b=\sqrt{10}-\sqrt{9}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{\sqrt{10}+3} \] - 答え
\[ \boxed{38} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=9\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{9} \] - 答え
\[ \boxed{9\sqrt{2}} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(11\) 個の並べ方は \(11!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(12!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot11!} \] - 答え
\[ \boxed{12!-2\cdot11!} \]
第4問 倍角公式と区間内の解
\(\phi=\theta-18\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。
- 答え
\[ \boxed{\theta=\frac{73\pi}{4},\frac{75\pi}{4},\frac{77\pi}{4},\frac{79\pi}{4}} \] - 答え
\[ \boxed{\theta=\frac{73\pi}{4},\frac{75\pi}{4}} \]
第5問 内分ベクトルと面積比
内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(9\vec a+\vec b)/10\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/10\)。
- 答え
\[ \boxed{\frac{9\vec a+\vec b}{10}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{10}} \]