大学受験数学 全国模試 第072回
この回のテストポイント
- 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：片側検定の棄却域と結論（統計的な推測）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 集合と命題（20点）
全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,15\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq12\}\)、\(B=\{x\in U\mid 9\leq x\leq10\}\) とする。
- 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
- 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(18\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(9\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
製品の平均重量が \(109\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(107\) gだった。帰無仮説は \(\mu=109\)、対立仮説は \(\mu<109\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。
- 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
- 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-9)+\log_2(x-10)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
\(\vec a=(9,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。
- \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
- その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 集合の包含関係と必要十分条件
\(B\subset A\) で、\(B\) の要素は2個。\(A\cap\overline B\) は \(A\) からこの2個を除いた集合である。\(x\in B\Rightarrow x\in A\) は成り立つが、例えば \(x=1\) では逆が成り立たない。
- 答え
\[ \boxed{10} \] - 答え
\[ \boxed{\text{必要条件}} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(9\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=243-162=81\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{9} \] - 答え
\[ \boxed{972} \]
第3問 片側検定の棄却域と結論
帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(107-109)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。
- 答え
\[ \boxed{-2} \] - 答え
\[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>10\)。対数の和を積にまとめると \((x-9)(x-10)=2\)。\(u=x-9\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>10} \] - 答え
\[ \boxed{x=11} \]
第5問 内積と垂直条件
垂直条件は内積0なので \(9+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(10,-8)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。
- 答え
\[ \boxed{t=-9} \] - 答え
\[ \boxed{164} \]