大学受験数学 全国模試 第071回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-9|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>10\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=36x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(9,18)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(59\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(512+2)2^x+1024=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-9\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>10\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{6\leq x\leq12} \] - 答え
\[ \boxed{x=11,\ 12} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(9\)。焦点は \((9,0)\)、準線は \(x=-9\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(18\)、準線までは横方向の距離 \(9-(-9)=18\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(9,0),\ \text{準線}\ x=-9} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 18} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1426}{25}\leq\mu\leq\frac{1524}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(512+2)t+1024=(t-2)(t-512)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^9\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 512} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 9} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/9=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/9=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/9=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=9\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{441} \]