大学受験数学 全国模試 第070回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：等距離条件から軌跡を導く（図形と方程式）
- 第3問：一次変換による平均と分散の変化（データの分析）
- 第4問：積分定数と初期条件（積分）
- 第5問：絶対値の軌跡と円の位置（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(800\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
点 \(A=(-8,0)\)、\(B=(8,0)\) から等距離にある点 \(P=(x,y)\) を考える。
- \(P\) の軌跡の方程式を求めなさい。（10点）
- さらに \(PA=\sqrt{73}\) を満たす \(P\) の座標をすべて求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
あるデータ \(x\) の平均は \(8\)、分散は4である。すべての値を \(y=3x+2\) に変換する。
- \(y\) の平均を求めなさい。（10点）
- \(y\) の分散と標準偏差を求めなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-16x\)、\(F(0)=8\) を満たす。
- \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
- \(\int_0^8\(3x^2-16x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数 \(z\) は \(|z-(8+2i)|=3\) を満たす。
- この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
- この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(800+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>800\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>8} \] - 答え
\[ \boxed{9\ \text{時間},\ 2600\ \text{円}} \]
第2問 等距離条件から軌跡を導く
\(PA^2=PB^2\) を展開すると \((x+8)^2+y^2=(x-8)^2+y^2\) から \(32x=0\)。軌跡は垂直二等分線である。\(x=0\) を追加条件に代入すると \\(y^2=9\\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0} \] - 答え
\[ \boxed{(0,3),\ (0,-3)} \]
第3問 一次変換による平均と分散の変化
平均は同じ一次変換を受ける。平均との差は \(y-\bar y=3(x-\bar x)\) となるため、分散は倍率の2乗で9倍になる。平行移動の2は分散に影響しない。標準偏差は分散の正の平方根。
- 答え
\[ \boxed{26} \] - 答え
\[ \boxed{V(y)=36,\ \text{標準偏差}=6} \]
第4問 積分定数と初期条件
不定積分は \(F(x)=x^3-8x^2+C\)。初期条件より \(C=8\)。定積分は原始関数の両端の差であり、\(F(8)-F(0)\) を計算する。積分定数は差で消える。
- 答え
\[ \boxed{F(x)=x^3-8x^2+8} \] - 答え
\[ \boxed{0} \]
第5問 絶対値の軌跡と円の位置
絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(8+2i\)、半径は3。\(z=8+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}=8+2i,\ \text{半径}=3} \] - 答え
\[ \boxed{z=8+5i,\ 8-i} \]