大学受験数学 全国模試 第069回
この回のテストポイント
- 第1問：条件の式化と面積の最適化（二次関数の活用）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：二項分布の確率と期待値（確率分布）
- 第4問：導関数の符号と極値（微分）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数の活用（20点）
長方形の周の長さは \(32\) cmである。一辺を \(x\) cmとし、\(0<x<16\) とする。
- 面積 \(S\) を \(x\) の式で表しなさい。（10点）
- 面積の最大値と、そのときの辺の長さを求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(24,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 確率分布（20点）
成功確率 \(1/2\) の独立な試行を \(10\) 回行う。成功回数を \(X\) とする。
- \(X=1\) となる確率を求めなさい。（10点）
- \(X\) の期待値と分散を求めなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
\(f(x)=x^3-24x^2\) とする。
- 増加する区間と減少する区間を求めなさい。（10点）
- 極大値と極小値を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=8+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 条件の式化と面積の最適化
もう一辺は \(16-x\) cm。したがって \(S=x(16-x)=-(x-8)^2+64\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。
- 答え
\[ \boxed{S=x(16-x)} \] - 答え
\[ \boxed{64\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 8\ \mathrm{cm}} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(8,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+24y-96=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(8,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{16}{37}\sqrt{37}} \]
第3問 二項分布の確率と期待値
成功する1回の位置が \(10\) 通りあり、各並びの確率は \((1/2)^{10}\)。二項分布 \(B(n,p)\) の期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{\frac{5}{512}} \] - 答え
\[ \boxed{E(X)=5,\ V(X)=\frac{5}{2}} \]
第4問 導関数の符号と極値
\(f'(x)=3x(x-16)\)。導関数は \(x<0\)、\(x>16\) で正、\(0<x<16\) で負。符号が正から負に変わる \(x=0\) で極大、負から正に変わる \(x=16\) で極小となる。
- 答え
\[ \boxed{\text{増加}:x<0,\ x>16;\ \text{減少}:0<x<16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{極大値}=0,\ \text{極小値}=-2048} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(8+i)=-1+8i\)。\(w-z=(-9)+7i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+8i} \] - 答え
\[ \boxed{130} \]