大学受験数学 全国模試 第068回
この回のテストポイント
- 第1問：交点と上下関係（二次関数）
- 第2問：円の方程式と接線（図形と方程式）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：微分係数と接線の方程式（微分）
- 第5問：空間の内積と直線上の垂足（空間ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 二次関数（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=16x+17\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
円 \((x-8)^2+(y-2)^2=25\) と、その上の点 \(P=(11,6)\) を考える。
- 円の中心と半径を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) における接線の方程式を求めなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(48\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 微分（20点）
曲線 \(y=x^3\) 上の点 \(P=(8,512)\) を考える。
- 点 \(P\) における接線の傾きを求めなさい。（10点）
- この接線の方程式を求めなさい。（10点）
第5問 空間ベクトル（20点）
空間で \(O=(0,0,0)\)、\(A=(1,2,2)\)、\(P=(8,0,0)\) とする。点 \(P\) から直線 \(OA\) への垂足を \(H\) とする。
- \(H=t(1,2,2)\) とおき、\(t\) を求めなさい。（10点）
- 距離 \(PH\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 交点と上下関係
交点の条件を整理すると \(x^2-16x-17=(x+1)(x-17)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。
- 答え
\[ \boxed{x=-1,\ 17} \] - 答え
\[ \boxed{-1<x<17} \]
第2問 円の方程式と接線
標準形から中心は \((8,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-11)+4(y-6)=0\) を整理する。
- 答え
\[ \boxed{\text{中心}(8,2),\ \text{半径}5} \] - 答え
\[ \boxed{3x+4y=57} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(24\) 個、3の倍数は \(16\) 個、両方に属する6の倍数は \(8\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 微分係数と接線の方程式
導関数は \\(y'=3x^2\\) なので、接線の傾きは \(192\)。点と傾きから \(y-512=192(x-8)\) とおき、整理する。
- 答え
\[ \boxed{192} \] - 答え
\[ \boxed{y=192x-1024} \]
第5問 空間の内積と直線上の垂足
より \(8-9t=0\)。垂直な分解から \(PH^2=OP^2-OH^2=64-64/9\)。
- 答え
\[ \boxed{t=\frac{8}{9}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{16\sqrt2}{3}} \]