大学受験数学 全国模試 第067回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
- 第3問：表から条件付きの母集団を選ぶ（条件付き確率）
- 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
- 第5問：内分ベクトルと面積比（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-8)(x-12)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq14\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=8\)、\(PB=32\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。
- 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
- 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）
第3問 条件付き確率（20点）
ある集団の検査結果は次の通りである。全員から1人を無作為に選ぶ。
| 区分 | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 疾患あり | 16 | 16 |
| 疾患なし | 8 | 40 |
- 陽性だったという条件の下で、疾患ありである確率を求めなさい。（10点）
- 疾患ありという条件の下で、陽性である確率を求めなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(f(\theta)=8\sin\theta+8\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。
- \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
- 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
三角形 \(OAB\) で \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)。\(AB\) を \(AP:PB=1:8\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(\overrightarrow{OP}\) を \(\vec a,\vec b\) で表しなさい。（10点）
- 三角形 \(OAP\) の面積は三角形 \(OAB\) の面積の何倍か求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,7\) の \(8\) 個と、\(13,14\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<8\ \text{または}\ x>12} \] - 答え
\[ \boxed{10} \]
第2問 円の接線と方べき
方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=256\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=256\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。
- 答え
\[ \boxed{16} \] - 答え
\[ \boxed{128} \]
第3問 表から条件付きの母集団を選ぶ
第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(24\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(32\) 人。どちらも該当するのは \(16\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。
- 答え
\[ \boxed{\frac{2}{3}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
第4問 三角関数の合成と最大値
加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=8\)、\(R\sin\alpha=8\)。よって \(R=8\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。
- 答え
\[ \boxed{8\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \] - 答え
\[ \boxed{\text{最大値}=8\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]
第5問 内分ベクトルと面積比
内分公式で \(\overrightarrow{OP}=(8\vec a+\vec b)/9\)。係数は向かい側の比になる。2つの三角形は \(O\) から直線 \(AB\) への高さが共通なので、面積比は \(AP/AB=1/9\)。
- 答え
\[ \boxed{\frac{8\vec a+\vec b}{9}} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{1}{9}} \]