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大学受験数学 全国模試 第066回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

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問題

第1問　二次方程式（20点）

\\(x^2-11x+16=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。

  1. 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
  2. \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）

第2問　図形の性質（20点）

三角形 \(ABC\) で \(AB=16\)、\(AC=24\)、\(BC=32\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。

  1. \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
  2. 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）

第3問　場合の数・確率（20点）

男子 \(10\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。

  1. 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
  2. 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）

第4問　三角関数（20点）

\(\theta\) の範囲を \(16\pi\leq\theta<18\pi\) とする。

  1. この範囲で \(\cos2\theta=0\) を満たす \(\theta\) をすべて求めなさい。（10点）
  2. 第1小問の解のうち、\(\sin\theta>0\) となるものをすべて選びなさい。（10点）

第5問　ベクトル（20点）

\(\vec a=(8,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。

  1. \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
  2. その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　解と係数の関係による対称式

解と係数の関係より \(\alpha+\beta=11\)、\(\alpha\beta=16\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。

  1. 答え
    \[ \boxed{89} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{11}{16}} \]

第2問　角の二等分線と辺の比

角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。

  1. 答え
    \[ \boxed{BD=\frac{64}{5},\ DC=\frac{96}{5}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{2:3} \]

第3問　組合せによる委員選出

順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{10}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{13}{3}=286\) 通り。

  1. 答え
    \[ \boxed{135} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{135}{286}} \]

第4問　倍角公式と区間内の解

\(\phi=\theta-16\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。

  1. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{65\pi}{4},\frac{67\pi}{4},\frac{69\pi}{4},\frac{71\pi}{4}} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\theta=\frac{65\pi}{4},\frac{67\pi}{4}} \]

第5問　内積と垂直条件

垂直条件は内積0なので \(8+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(9,-7)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。

  1. 答え
    \[ \boxed{t=-8} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{130} \]