大学受験数学 全国模試 第065回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：等差×等比の和とずらして引く方法（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-16x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=8\)、\(BC=8\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(11\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-8)+\log_2(x-9)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
とする。
- \(2S-S\) を、同じ2の累乗の項どうしを引いて整理しなさい。（10点）
- \(S\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-16)^2-4t=4(64-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=8\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<64} \] - 答え
\[ \boxed{t=64,\ x=8} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(192=64+64-128\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{16\sqrt{3}} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(10\) 個の並べ方は \(10!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(11!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot10!} \] - 答え
\[ \boxed{11!-2\cdot10!} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>9\)。対数の和を積にまとめると \((x-8)(x-9)=2\)。\(u=x-8\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>9} \] - 答え
\[ \boxed{x=10} \]
第5問 等差×等比の和とずらして引く方法
\(S/8=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/8=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/8=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。
- 答え
\[ \boxed{2S-S=8\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \] - 答え
\[ \boxed{392} \]