大学受験数学 全国模試 第064回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域付き最大・最小（二次関数）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：片側検定の棄却域と結論（統計的な推測）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：漸化式の固定点と等比数列への変換（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 二次関数（20点）
\(f(x)=(x-8)^2-4\)、\(7\leq x\leq10\) とする。
- 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
- 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=8\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
製品の平均重量が \(108\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(106\) gだった。帰無仮説は \(\mu=108\)、対立仮説は \(\mu<108\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。
- 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
- 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(256+2)2^x+512=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=9\)、\(a_{n+1}=2a_n-8\) とする。
- \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
- \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 定義域付き最大・最小
軸 \(x=8\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(7)=-3\)、右端では \(f(10)=0\) となる。
- 答え
\[ \boxed{x=8,\ \text{最小値}=-4} \] - 答え
\[ \boxed{x=10,\ \text{最大値}=0} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=8\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{8} \] - 答え
\[ \boxed{8\sqrt{2}} \]
第3問 片側検定の棄却域と結論
帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(106-108)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。
- 答え
\[ \boxed{-2} \] - 答え
\[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(256+2)t+512=(t-2)(t-256)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^8\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 256} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 8} \]
第5問 漸化式の固定点と等比数列への変換
定数解 \(a_n=8\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=8+2^{n-1}\)。
- 答え
\[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \] - 答え
\[ \boxed{24} \]