大学受験数学 全国模試 第063回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：空間図形の高さと体積（三角比）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{8}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
正四角錐の底面の一辺は \(16\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(8\sqrt{3}\) である。
- 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
- 四角錐の体積を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(58\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-16x+68=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=8\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((9)-8=1\)。よって \(a=\sqrt{9}+\sqrt{8}\)、\(b=\sqrt{9}-\sqrt{8}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{3+2\sqrt{2}} \] - 答え
\[ \boxed{34} \]
第2問 空間図形の高さと体積
頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(8\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=192-128=64\)。体積は底面積×高さ÷3。
- 答え
\[ \boxed{8} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{2048}{3}} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1401}{25}\leq\mu\leq\frac{1499}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-8)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(8\pm2i\)。和は \(16\)、積は \(68\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=8\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=68,\ \alpha^2+\beta^2=120} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=8+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(8-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+7} \] - 答え
\[ \boxed{90} \]