大学受験数学 全国模試 第062回
この回のテストポイント
- 第1問：集合の包含関係と必要十分条件（集合と命題）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：標本平均の分布と標準化（統計的な推測）
- 第4問：剰余の定理と係数決定（式と証明）
- 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 集合と命題（20点）
全体集合を \(U=\{1,2,\ldots,14\}\) とし、\(A=\{x\in U\mid x\leq11\}\)、\(B=\{x\in U\mid 8\leq x\leq9\}\) とする。
- 集合 \(A\cap\overline{B}\) の要素の個数を求めなさい。（10点）
- 条件「\(x\in A\)」は条件「\(x\in B\)」の必要条件・十分条件・必要十分条件・いずれでもない、のどれか答えなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=32x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(8,16)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母平均 \(8\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。
- \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
- \(P(7\leq\overline X\leq9)\) を求めなさい。（10点）
第4問 式と証明（20点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(8\)、\(x+1\) で割った余りは \(10\) である。
- 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
- \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
初項 \(8\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。
- 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
- \(S_n=248\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 集合の包含関係と必要十分条件
\(B\subset A\) で、\(B\) の要素は2個。\(A\cap\overline B\) は \(A\) からこの2個を除いた集合である。\(x\in B\Rightarrow x\in A\) は成り立つが、例えば \(x=1\) では逆が成り立たない。
- 答え
\[ \boxed{9} \] - 答え
\[ \boxed{\text{必要条件}} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(8\)。焦点は \((8,0)\)、準線は \(x=-8\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(16\)、準線までは横方向の距離 \(8-(-8)=16\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(8,0),\ \text{準線}\ x=-8} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 16} \]
第3問 標本平均の分布と標準化
標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-8)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。
- 答え
\[ \boxed{E(\overline X)=8,\ \text{標準偏差}=1} \] - 答え
\[ \boxed{0.6826} \]
第4問 剰余の定理と係数決定
剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=8\)、\(P(-1)=-1-a+b=10\)。連立すると \(a=-2,b=9\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。
- 答え
\[ \boxed{a=-2,\ b=9} \] - 答え
\[ \boxed{13} \]
第5問 等比数列の和から項数を逆算
等比数列の和より \(S_n=8(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。
- 答え
\[ \boxed{S_n=8(2^n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{n=5} \]