大学受験数学 全国模試 第061回
この回のテストポイント
- 第1問：絶対値の範囲と共通部分（数と式）
- 第2問：楕円の焦点と交点（平面上の曲線）
- 第3問：四分位数と外れ値の判定（データの分析）
- 第4問：2曲線間の面積と上下関係（積分）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
実数 \(x\) について、\(|x-8|\leq3\) を考える。
- この不等式の解を求めなさい。（10点）
- さらに \(x>9\) を満たす整数 \(x\) をすべて求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
楕円 \\(\frac{x^2}{1600}+\frac{y^2}{576}=1\\) を考える。
- 2つの焦点の座標を求めなさい。（10点）
- 直線 \(x=24\) と楕円の交点を求めなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
小さい順に並べた8個のデータは 6、7、8、9、10、11、12、13 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。
- 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
- この基準で、新しい観測値 \(18\) は外れ値か判定しなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=8x\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=12\)、\(a_7=20\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 絶対値の範囲と共通部分
絶対値は数直線上の距離なので、\(-3\leq x-8\leq3\)。第2小問ではこの区間と \(x>9\) の共通部分をとる。端点の等号の有無に注意する。
- 答え
\[ \boxed{5\leq x\leq11} \] - 答え
\[ \boxed{x=10,\ 11} \]
第2問 楕円の焦点と交点
長半径は \(a=40\)、短半径は \(b=24\)。焦点距離は \\(c=\sqrt{a^2-b^2}=32\\)。直線を代入すると \\(y^2/576=1-9/25=16/25\\)。
- 答え
\[ \boxed{(32,0),\ (-32,0)} \] - 答え
\[ \boxed{(24,\frac{96}{5}),\ (24,-\frac{96}{5})} \]
第3問 四分位数と外れ値の判定
下半分の中央2値の平均は \((7+8)/2\)、上半分は \((11+12)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{23}{2}+6=\frac{35}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。
- 答え
\[ \boxed{Q_1=\frac{15}{2},\ Q_3=\frac{23}{2},\ IQR=4} \] - 答え
\[ \boxed{\text{外れ値である}} \]
第4問 2曲線間の面積と上下関係
\\(x^2=8x\\) より交点は \(x=0,8\)。その間では直線が上にあるので、面積は \(\int_0^8\(8x-x^2\)\,dx=[4x^2-x^3/3]_0^8\)。
- 答え
\[ \boxed{x=0,\ 8} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{256}{3}} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((20-12)/4=2\)。初項は \(a_3-4=8\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=8+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{170} \]