大学受験数学 全国模試 第060回
この回のテストポイント
- 第1問：一次不等式のモデル化と整数条件（数と式）
- 第2問：内分点と点・直線の距離（図形と方程式）
- 第3問：独立と排反を区別する（確率）
- 第4問：三角関数の合成と最大値（三角関数）
- 第5問：内積と垂直条件（ベクトル）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
施設Aの料金は基本料 \(700\) 円と1時間ごとに200円、施設Bは基本料0円と1時間ごとに300円である。利用時間を正の整数 \(n\) 時間とする。
- AがBより安くなる \(n\) の条件を求めなさい。（10点）
- AがBより安くなる最短の利用時間と、そのときのAの料金を求めなさい。（10点）
第2問 図形と方程式（20点）
\(A=(0,0)\)、\(B=(21,0)\)、\(C=(0,4)\) とする。\(AB\) を \(AP:PB=1:2\) に内分する点を \(P\) とする。
- \(P\) の座標を求めなさい。（10点）
- 点 \(P\) と直線 \(BC\) の距離を求めなさい。（10点）
第3問 確率（20点）
1から \(42\) までの整数から1つを等確率で選ぶ。事象Aを「2の倍数」、Bを「3の倍数」とする。
- \(P(A),P(B),P(A\cap B)\) を求めなさい。（10点）
- AとBは独立か。また、排反か。理由も書きなさい。（10点）
第4問 三角関数（20点）
\(f(\theta)=7\sin\theta+7\cos\theta\)、\(0\leq\theta<2\pi\) とする。
- \(f(\theta)\) を \(R\sin(\theta+\alpha)\) の形で表しなさい。ただし \(R>0\)、\(0<\alpha<\pi/2\)。（10点）
- 最大値と、そのときの \(\theta\) を求めなさい。（10点）
第5問 ベクトル（20点）
\(\vec a=(7,1)\)、\(\vec b=(1,t)\) とする。
- \(\vec a\) と \(\vec b\) が垂直になる \(t\) を求めなさい。（10点）
- その \(t\) のとき \(|\vec a+\vec b|^2\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 一次不等式のモデル化と整数条件
料金はAが \(700+200n\)、Bが \(300n\) なので、比較すると \(100n>700\)。時間は整数だから、最小の \(n\) は境界より1大きい。
- 答え
\[ \boxed{n>7} \] - 答え
\[ \boxed{8\ \text{時間},\ 2300\ \text{円}} \]
第2問 内分点と点・直線の距離
内分公式より \(P=(7,0)\)。直線 \(BC\) は \(4x+21y-84=0\) である。点と直線の距離の公式 \\(|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}\\) に代入する。
- 答え
\[ \boxed{(7,0)} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{56}{457}\sqrt{457}} \]
第3問 独立と排反を区別する
2の倍数は \(21\) 個、3の倍数は \(14\) 個、両方に属する6の倍数は \(7\) 個。\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) なので独立。一方、共通する事象の確率が0でないので排反ではない。
- 答え
\[ \boxed{P(A)=\frac12,\ P(B)=\frac13,\ P(A\cap B)=\frac16} \] - 答え
\[ \boxed{\text{独立であり、排反ではない}} \]
第4問 三角関数の合成と最大値
加法定理の係数を比べると \(R\cos\alpha=7\)、\(R\sin\alpha=7\)。よって \(R=7\sqrt2\)、\(\alpha=\pi/4\)。最大は \(\sin(\theta+\pi/4)=1\) のときである。
- 答え
\[ \boxed{7\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)} \] - 答え
\[ \boxed{\text{最大値}=7\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4} \]
第5問 内積と垂直条件
垂直条件は内積0なので \(7+t=0\)。そのとき \(\vec a+\vec b=(8,-6)\) だから長さの2乗は成分の平方和。または垂直性から \(|\vec a|^2+|\vec b|^2\) を使える。
- 答え
\[ \boxed{t=-7} \] - 答え
\[ \boxed{100} \]