第1問　条件の式化と面積の最適化

もう一辺は \(14-x\) cm。したがって \(S=x(14-x)=-(x-7)^2+49\)。頂点は許された区間内にあり、2辺が等しいとき面積が最大となる。

1. 答え
   
   \[ \boxed{S=x(14-x)} \]
2. 答え
   
   \[ \boxed{49\ \mathrm{cm}^2,\ \text{両辺}\ 7\ \mathrm{cm}} \]

第2問　円の方程式と接線

標準形から中心は \((7,2)\)、半径は5。半径の方向は \((3,4)\) なので接線の法線ベクトルも \((3,4)\)。\(3(x-10)+4(y-6)=0\) を整理する。

1. 答え
   
   \[ \boxed{\text{中心}(7,2),\ \text{半径}5} \]
2. 答え
   
   \[ \boxed{3x+4y=54} \]

第3問　表から条件付きの母集団を選ぶ

第1小問の条件は陽性なので分母は陽性者 \(21\) 人。第2小問の条件は疾患ありなので分母は疾患のある \(28\) 人。どちらも該当するのは \(14\) 人だが、条件ごとに分母を選び直す必要がある。

1. 答え
   
   \[ \boxed{\frac{2}{3}} \]
2. 答え
   
   \[ \boxed{\frac{1}{2}} \]

第4問　倍角公式と区間内の解

\(\phi=\theta-14\pi\) とおけば \(0\leq\phi<2\pi\)。\(2\phi\) の範囲は \(0\leq2\phi<4\pi\) で、余弦が0になる位置を4つ拾う。正弦が正になるのは \(0<\phi<\pi\) である。

1. 答え
   
   \[ \boxed{\theta=\frac{57\pi}{4},\frac{59\pi}{4},\frac{61\pi}{4},\frac{63\pi}{4}} \]
2. 答え
   
   \[ \boxed{\theta=\frac{57\pi}{4},\frac{59\pi}{4}} \]

第5問　等差×等比の和とずらして引く方法

\(S/7=1+2\cdot2+3\cdot4+4\cdot8\) と \(2S/7=2+2\cdot4+3\cdot8+4\cdot16\) をそろえて引くと、\(S/7=4\cdot16-(1+2+4+8)=49\)。

1. 答え
   
   \[ \boxed{2S-S=7\left(4\cdot2^4-(1+2+2^2+2^3)\right)} \]
2. 答え
   
   \[ \boxed{343} \]