大学受験数学 全国模試 第058回
この回のテストポイント
- 第1問：交点と上下関係（二次関数）
- 第2問：円の接線と方べき（図形の性質）
- 第3問：組合せによる委員選出（場合の数・確率）
- 第4問：真数条件と対数方程式（対数関数）
- 第5問：漸化式の固定点と等比数列への変換（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次関数（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=14x+15\) を考える。
- 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
- 放物線が直線より下にある \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
円の外部の点 \(P\) から引いた割線が円と近い順に \(A,B\) で交わり、\(PA=7\)、\(PB=28\) とする。\(P\) から円に引いた接線の接点を \(T\) とする。
- 接線の長さ \(PT\) を求めなさい。（10点）
- 同じ点 \(P\) を通る別の割線の交点を近い順に \(C,D\) とし、\(PC=2\) のとき \(PD\) を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数・確率（20点）
男子 \(9\) 人、女子3人から、3人の委員を選ぶ。各3人の組は同じ確率で選ばれる。
- 男子2人、女子1人となる選び方は何通りか。（10点）
- 男子2人、女子1人となる確率を求めなさい。（10点）
第4問 対数関数（20点）
\(\log_2(x-7)+\log_2(x-8)=1\) を考える。
- 真数条件から \(x\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 方程式の解を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=8\)、\(a_{n+1}=2a_n-7\) とする。
- \(b_n=a_n-k\) とおく理由を説明し、\(b_n\) の一般項を求めなさい。（10点）
- \(a_5\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 交点と上下関係
交点の条件を整理すると \(x^2-14x-15=(x+1)(x-15)=0\)。下にある条件はこの積が負になることであり、2つの根の間となる。
- 答え
\[ \boxed{x=-1,\ 15} \] - 答え
\[ \boxed{-1<x<15} \]
第2問 円の接線と方べき
方べきの定理より \(PT^2=PA\cdot PB=196\)。別の割線でも \(PC\cdot PD=196\) である。長さは正なので平方根の正の値をとる。
- 答え
\[ \boxed{14} \] - 答え
\[ \boxed{98} \]
第3問 組合せによる委員選出
順序を区別しないので組合せを使う。男子2人を \(\binom{9}{2}\) 通り、女子1人を3通りで選び、掛け合わせる。全体は \(\binom{12}{3}=220\) 通り。
- 答え
\[ \boxed{108} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{27}{55}} \]
第4問 真数条件と対数方程式
両真数が正である条件は \(x>8\)。対数の和を積にまとめると \((x-7)(x-8)=2\)。\(u=x-7\) とおけば \(u(u-1)=2\) より \(u=2,-1\)。真数条件を満たす方だけを採用する。
- 答え
\[ \boxed{x>8} \] - 答え
\[ \boxed{x=9} \]
第5問 漸化式の固定点と等比数列への変換
定数解 \(a_n=7\) を引くことで \(b_{n+1}=2b_n\)、\(b_1=1\) となる。この等比数列から \(b_n=2^{n-1}\)、\(a_n=7+2^{n-1}\)。
- 答え
\[ \boxed{b_n=2^{n-1}\quad\text{固定点を引くと定数項が消える}} \] - 答え
\[ \boxed{23} \]