大学受験数学 全国模試 第057回
この回のテストポイント
- 第1問：積の符号と整数解（二次不等式）
- 第2問：角の二等分線と辺の比（図形の性質）
- 第3問：順列の隣接条件と余事象（場合の数）
- 第4問：置換による指数方程式（指数関数）
- 第5問：階差数列と平方数の和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 二次不等式（20点）
\((x-7)(x-11)>0\) を考える。
- 不等式の解を求めなさい。（10点）
- \(0\leq x\leq13\) の整数のうち、この不等式を満たすものの個数を求めなさい。（10点）
第2問 図形の性質（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=14\)、\(AC=21\)、\(BC=28\) とする。\(\angle A\) の内角の二等分線と \(BC\) の交点を \(D\) とする。
- \(BD\) と \(DC\) を求めなさい。（10点）
- 三角形 \(ABD\) と三角形 \(ACD\) の面積の比を求めなさい。（10点）
第3問 場合の数（20点）
A、Bを含む互いに異なる \(10\) 人が一列に並ぶ。階乗 \(n!\) を用いて答えてよい。
- AとBが隣り合う並び方は何通りか。（10点）
- AとBが隣り合わない並び方は何通りか。（10点）
第4問 指数関数（20点）
\(4^x-(128+2)2^x+256=0\) を考える。
- \(t=2^x\) とおいて、\(t\) の値をすべて求めなさい。（10点）
- \(x\) の値をすべて求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
\(a_1=7\)、\(a_{n+1}-a_n=2n+1\) とする。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第5項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 積の符号と整数解
積が正になるのは2つの零点の外側である。指定された整数では \(0,\ldots,6\) の \(7\) 個と、\(12,13\) の2個を数える。零点は含めない。
- 答え
\[ \boxed{x<7\ \text{または}\ x>11} \] - 答え
\[ \boxed{9} \]
第2問 角の二等分線と辺の比
角の二等分線の定理より \(BD:DC=AB:AC=2:3\)。辺全体を5等分して配分する。2つの三角形は直線 \(BC\) に対する高さが共通なので、面積比も底辺の比に一致する。
- 答え
\[ \boxed{BD=\frac{56}{5},\ DC=\frac{84}{5}} \] - 答え
\[ \boxed{2:3} \]
第3問 順列の隣接条件と余事象
AとBを1組とみると、組を含む \(9\) 個の並べ方は \(9!\) 通り。組内の順序は2通りである。隣り合わない並び方は全体 \(10!\) から隣り合う並び方を引く。
- 答え
\[ \boxed{2\cdot9!} \] - 答え
\[ \boxed{10!-2\cdot9!} \]
第4問 置換による指数方程式
\(t>0\) に注意し、\(t^2-(128+2)t+256=(t-2)(t-128)\) と因数分解する。2つの根はいずれも正。\(2^x=2\) または \(2^x=2^7\) に戻す。
- 答え
\[ \boxed{t=2,\ 128} \] - 答え
\[ \boxed{x=1,\ 7} \]
第5問 階差数列と平方数の和
\(n\geq2\) では \(a_n=a_1+\sum_{j=1}^{n-1}(2j+1)=7+n^2-1\)。この式は \(n=1\) でも成り立つ。第5項までの和は \(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+5(7-1)\)。
- 答え
\[ \boxed{a_n=n^2+6} \] - 答え
\[ \boxed{85} \]