大学受験数学 全国模試 第056回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係による対称式（二次方程式）
- 第2問：余弦定理から角と面積を決定（三角比）
- 第3問：片側検定の棄却域と結論（統計的な推測）
- 第4問：負の判別式と共役な解（複素数と方程式）
- 第5問：等比数列の和から項数を逆算（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 二次方程式（20点）
\\(x^2-10x+14=0\\) の2つの解を \(\alpha,\beta\) とする。
- 解を直接求めずに \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
- \(\frac1\alpha+\frac1\beta\) を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(AB=AC=7\)、\(BC=7\sqrt{3}\) とする。
- \(\angle A\) を求めなさい。（10点）
- 三角形の面積を求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
製品の平均重量が \(107\) gより小さくなったか調べる。母標準偏差は既知で6 g、母集団は正規分布とする。36個の独立な標本の平均は \(105\) gだった。帰無仮説は \(\mu=107\)、対立仮説は \(\mu<107\)。有意水準5%の下側片側検定の棄却域は \(Z<-1.645\) とする。
- 検定統計量 \(Z\) を求めなさい。（10点）
- 帰無仮説を棄却するか。平均重量について、この検定から言えることを書きなさい。（10点）
第4問 複素数と方程式（20点）
\\(x^2-14x+53=0\\) を複素数の範囲で解く。虚数単位を \(i\) とする。
- 2つの解を求めなさい。（10点）
- その2解を \(\alpha,\beta\) として、\(\alpha\beta\) と \\(\alpha^2+\beta^2\\) を求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
初項 \(7\)、公比2の等比数列を \(\{a_n\}\) とする。
- 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。（10点）
- \(S_n=217\) となる \(n\) を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係による対称式
解と係数の関係より \(\alpha+\beta=10\)、\(\alpha\beta=14\)。平方の和は \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)、逆数の和は \((\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\) で求まる。積が0でないことも確認する。
- 答え
\[ \boxed{72} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{5}{7}} \]
第2問 余弦定理から角と面積を決定
余弦定理で \(147=49+49-98\cos A\) より \(\cos A=-1/2\)。三角形の内角なので \(A=120^\circ\)。面積は \(\frac12 AB\cdot AC\sin A\) で求める。
- 答え
\[ \boxed{120^\circ} \] - 答え
\[ \boxed{\frac{49}{4}\sqrt{3}} \]
第3問 片側検定の棄却域と結論
帰無仮説の下で標本平均の標準偏差は \(6/\sqrt{36}=1\)。したがって \(Z=(105-107)/1=-2\)。これは棄却域に入るので、有意水準5%で平均が基準値より小さくなったと判断する。
- 答え
\[ \boxed{-2} \] - 答え
\[ \boxed{\text{棄却する。平均重量が基準値より小さいと判断する}} \]
第4問 負の判別式と共役な解
平方完成すると \((x-7)^2=-4\) なので、解は共役な複素数 \(7\pm2i\)。和は \(14\)、積は \(53\)。平方の和は和の2乗から積の2倍を引いて求める。
- 答え
\[ \boxed{x=7\pm2i} \] - 答え
\[ \boxed{\alpha\beta=53,\ \alpha^2+\beta^2=90} \]
第5問 等比数列の和から項数を逆算
等比数列の和より \(S_n=7(2^n-1)/(2-1)\)。指定された和から \(2^n-1=31\)、つまり \(2^n=32\) を解く。
- 答え
\[ \boxed{S_n=7(2^n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{n=5} \]