大学受験数学 全国模試 第055回
この回のテストポイント
- 第1問：判別式による実数解の分類（二次方程式）
- 第2問：正弦定理と外接円（三角比）
- 第3問：母平均の信頼区間と標本数（統計的な推測）
- 第4問：剰余の定理と係数決定（式と証明）
- 第5問：等差数列の条件から一般項と和（数列）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回
問題
第1問 二次方程式（20点）
実数 \(t\) に対して \\(x^2-14x+t=0\\) を考える。
- 異なる2つの実数解をもつ \(t\) の範囲を求めなさい。（10点）
- 重解をもつときの \(t\) と、その重解を求めなさい。（10点）
第2問 三角比（20点）
三角形 \(ABC\) で \(\angle A=30^\circ\)、\(\angle B=45^\circ\)、\(BC=7\) とする。
- 外接円の半径 \(R\) を求めなさい。（10点）
- 辺 \(CA\) の長さを求めなさい。（10点）
第3問 統計的な推測（20点）
母標準偏差10の正規母集団から100個の独立な標本をとったところ、標本平均は \(57\) だった。母標準偏差は既知とし、95%信頼区間の式 \(\overline x\pm1.96\sigma/\sqrt n\) を用いる。
- 母平均の95%信頼区間を求めなさい。（10点）
- 同じ母標準偏差で区間の幅を半分にしたい。必要な標本数を求めなさい。（10点）
第4問 式と証明（20点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) を \(x-1\) で割った余りは \(7\)、\(x+1\) で割った余りは \(9\) である。
- 係数 \(a,b\) を求めなさい。（10点）
- \(P(x)\) を \(x-2\) で割った余りを求めなさい。（10点）
第5問 数列（20点）
等差数列 \(\{a_n\}\) は \(a_3=11\)、\(a_7=19\) を満たす。
- 一般項 \(a_n\) を求めなさい。（10点）
- 初項から第10項までの和を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 判別式による実数解の分類
判別式は \(D=(-14)^2-4t=4(49-t)\)。異なる2実根の条件は \(D>0\)、重解の条件は \(D=0\) である。重解は軸の位置 \(x=7\) に一致する。
- 答え
\[ \boxed{t<49} \] - 答え
\[ \boxed{t=49,\ x=7} \]
第2問 正弦定理と外接円
正弦定理より \(BC/\sin A=2R\)。\(\sin30^\circ=1/2\) なので \(R=7\)。さらに \(CA=2R\sin45^\circ\) を使う。
- 答え
\[ \boxed{7} \] - 答え
\[ \boxed{7\sqrt{2}} \]
第3問 母平均の信頼区間と標本数
誤差の幅は片側 \(1.96\cdot10/10=1.96\)。全幅は3.92となる。幅は \(1/\sqrt n\) に比例するので、半分にするには標本数を4倍にする。
- 答え
\[ \boxed{\frac{1376}{25}\leq\mu\leq\frac{1474}{25}} \] - 答え
\[ \boxed{400} \]
第4問 剰余の定理と係数決定
剰余の定理で \(P(1)=1+a+b=7\)、\(P(-1)=-1-a+b=9\)。連立すると \(a=-2,b=8\)。最後の余りは \(P(2)=8+2a+b\) である。
- 答え
\[ \boxed{a=-2,\ b=8} \] - 答え
\[ \boxed{12} \]
第5問 等差数列の条件から一般項と和
第3項から第7項へ4回公差を加えるので、公差は \((19-11)/4=2\)。初項は \(a_3-4=7\)。和は項数×（初項＋末項）÷2で求める。
- 答え
\[ \boxed{a_n=7+2(n-1)} \] - 答え
\[ \boxed{160} \]