J 受験ヒーロー

大学受験数学 全国模試 第054回

この回のテストポイント

取り組み方

60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回

問題

第1問　二次関数（20点）

\(f(x)=(x-7)^2-4\)、\(6\leq x\leq9\) とする。

  1. 最小値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）
  2. 最大値と、そのときの \(x\) を求めなさい。（10点）

第2問　三角比（20点）

正四角錐の底面の一辺は \(14\)、頂点から底面の各頂点までの辺は \(7\sqrt{3}\) である。

  1. 四角錐の高さを求めなさい。（10点）
  2. 四角錐の体積を求めなさい。（10点）

第3問　統計的な推測（20点）

母平均 \(7\)、母標準偏差4の正規母集団から、独立に16個を抽出し、標本平均を \(\overline X\) とする。標準正規変数 \(Z\) について \(P(-1\leq Z\leq1)=0.6826\) を使ってよい。

  1. \(\overline X\) の期待値と標準偏差を求めなさい。（10点）
  2. \(P(6\leq\overline X\leq8)\) を求めなさい。（10点）

第4問　積分（20点）

放物線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=7x\) を考える。

  1. 2つの交点の \(x\) 座標を求めなさい。（10点）
  2. 2曲線で囲まれる部分の面積を求めなさい。（10点）

第5問　複素数平面（20点）

複素数 \(z\) は \(|z-(7+2i)|=3\) を満たす。

  1. この軌跡の中心を表す複素数と半径を答えなさい。（10点）
  2. この軌跡と直線 \(\operatorname{Re}(z)=k\) との交点を表す複素数をすべて求めなさい。（10点）
解答・解説

第1問　定義域付き最大・最小

軸 \(x=7\) は定義域内にあるので、頂点で最小になる。最大は軸から遠い方の端点でとる。左端では \(f(6)=-3\)、右端では \(f(9)=0\) となる。

  1. 答え
    \[ \boxed{x=7,\ \text{最小値}=-4} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{x=9,\ \text{最大値}=0} \]

第2問　空間図形の高さと体積

頂点の真下は正方形の中心。中心から底面の頂点までの距離は半対角線 \(7\sqrt{2}\) である。高さ \(h\) に対して \(h^2=147-98=49\)。体積は底面積×高さ÷3。

  1. 答え
    \[ \boxed{7} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{1372}{3}} \]

第3問　標本平均の分布と標準化

標本平均の期待値は母平均、標準偏差は \(\sigma/\sqrt n=4/4=1\)。\(Z=(\overline X-7)/1\) と標準化すると、指定区間は \(-1\leq Z\leq1\) に対応する。

  1. 答え
    \[ \boxed{E(\overline X)=7,\ \text{標準偏差}=1} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{0.6826} \]

第4問　2曲線間の面積と上下関係

\\(x^2=7x\\) より交点は \(x=0,7\)。その間では直線が上にあるので、面積は

\[ \int_0^7(7x-x^2)\,dx=[\frac{7}{2}x^2-x^3/3]_0^7 \]

。

  1. 答え
    \[ \boxed{x=0,\ 7} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{\frac{343}{6}} \]

第5問　絶対値の軌跡と円の位置

絶対値は複素数平面上の距離なので中心は \(7+2i\)、半径は3。\(z=7+yi\) を代入すると \(|(y-2)i|=3\)、すなわち \(y=5,-1\)。

  1. 答え
    \[ \boxed{\text{中心}=7+2i,\ \text{半径}=3} \]
  2. 答え
    \[ \boxed{z=7+5i,\ 7-i} \]