大学受験数学 全国模試 第053回
この回のテストポイント
- 第1問：分母の有理化と共役な式（数と式）
- 第2問：放物線の定義と焦点・準線（平面上の曲線）
- 第3問：四分位数と外れ値の判定（データの分析）
- 第4問：積分定数と初期条件（積分）
- 第5問：複素数の乗法による回転（複素数平面）
取り組み方
60分・100点満点の分野横断演習です。各小問の途中式や判断の理由も書きなさい。全100回で50種類のテストポイントを繰り返し復習します。隣り合う回では5問ともテストポイントが変わります。
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問題
第1問 数と式（20点）
\(a=\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}\)、\(b=\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}\) とする。
- \(a\) の分母を有理化しなさい。（10点）
- \\(a^2+b^2\\) を求めなさい。（10点）
第2問 平面上の曲線（20点）
放物線 \\(y^2=28x\\) を考える。
- 焦点の座標と準線の方程式を求めなさい。（10点）
- 放物線上の点 \(P=(7,14)\) から焦点までの距離を求め、準線までの距離と等しいことを確かめなさい。（10点）
第3問 データの分析（20点）
小さい順に並べた8個のデータは 5、6、7、8、9、10、11、12 である。四分位数は上下各4個の中央値を使う。外れ値は \(Q_1-1.5IQR\) 未満、または \(Q_3+1.5IQR\) より大きい値とする。
- 第1四分位数 \(Q_1\)、第3四分位数 \(Q_3\)、四分位範囲 \(IQR\) を求めなさい。（10点）
- この基準で、新しい観測値 \(17\) は外れ値か判定しなさい。（10点）
第4問 積分（20点）
多項式 \(F(x)\) は \(F'(x)=3x^2-14x\)、\(F(0)=7\) を満たす。
- \(F(x)\) を求めなさい。（10点）
- \(\int_0^7\(3x^2-14x\)\,dx\) を求めなさい。（10点）
第5問 複素数平面（20点）
複素数平面上の点Aは \(z=7+i\) を表す。原点を中心に反時計回りに \(90^\circ\) 回転した点をBとする。
- Bを表す複素数 \(w\) を求めなさい。（10点）
- 線分ABの長さの2乗を求めなさい。（10点）
解答・解説
第1問 分母の有理化と共役な式
分母・分子に共役な式を掛けると分母は \((8)-7=1\)。よって \(a=\sqrt{8}+\sqrt{7}\)、\(b=\sqrt{8}-\sqrt{7}\)。平方の和では根号を含む交差項が打ち消し合う。
- 答え
\[ \boxed{2\sqrt{2}+\sqrt{7}} \] - 答え
\[ \boxed{30} \]
第2問 放物線の定義と焦点・準線
標準形 \\(y^2=4px\\) の \(p\) は \(7\)。焦点は \((7,0)\)、準線は \(x=-7\)。点 \(P\) から焦点までは縦方向の距離 \(14\)、準線までは横方向の距離 \(7-(-7)=14\) で一致する。
- 答え
\[ \boxed{\text{焦点}(7,0),\ \text{準線}\ x=-7} \] - 答え
\[ \boxed{\text{どちらも}\ 14} \]
第3問 四分位数と外れ値の判定
下半分の中央2値の平均は \((6+7)/2\)、上半分は \((10+11)/2\)。その差は4である。上側の境界は \(\frac{21}{2}+6=\frac{33}{2}\)。新しい値はこの境界より大きい。
- 答え
\[ \boxed{Q_1=\frac{13}{2},\ Q_3=\frac{21}{2},\ IQR=4} \] - 答え
\[ \boxed{\text{外れ値である}} \]
第4問 積分定数と初期条件
不定積分は \(F(x)=x^3-7x^2+C\)。初期条件より \(C=7\)。定積分は原始関数の両端の差であり、\(F(7)-F(0)\) を計算する。積分定数は差で消える。
- 答え
\[ \boxed{F(x)=x^3-7x^2+7} \] - 答え
\[ \boxed{0} \]
第5問 複素数の乗法による回転
反時計回りの \(90^\circ\) 回転は \(i\) を掛ける操作である。\(w=i(7+i)=-1+7i\)。\(w-z=(-8)+6i\) の絶対値の2乗は実部と虚部の平方和。
- 答え
\[ \boxed{w=-1+7i} \] - 答え
\[ \boxed{100} \]